Question

7．定义：有两条边长的比值为$\frac{1}{2}$的直角三角形叫“潜力三角形”．如图，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F．
（1）设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，请你直接写出$\frac{c}{a}$的值为2或$\sqrt{5}$；
（2）若∠AED=∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；
（3）若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①当$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{c}{a}$=2；②设另一条直角边长为b，当$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$时，b=2a，由勾股定理求出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，得出$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；即可得出答案；
（2）延长AE交BC于G，由平行线的性质得出∠AED=∠CDF，BF=GF，再由已知得出∠CDF=∠DCB，证出DF=CF，由平行线得出CG=GF，得出BF=GF=CG，因此DF=CF=2GF=2BF，得出$\frac{BF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，即可得出结论；
（3）分四种情况：①当$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$时；②当$\frac{DF}{BF}$=2时；③当$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$时；④当$\frac{DF}{BD}$=$\frac{1}{2}$时；求出BC=3，分别求出AB的长，由勾股定理求出AC即可．

解答 （1）解：分两种情况：
①当$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{c}{a}$=2；
②设另一条直角边长为b，当$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$时，b=2a，
∵∠B=90°，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故答案为：2或$\sqrt{5}$；
（2）证明：延长AE交BC于G，如图所示：
∵DF∥AE，D是AB的中点，
∴∠AED=∠CDF，BF=GF，
∵∠AED=∠DCB，
∴∠CDF=∠DCB，
∴DF=CF，
∵DF∥AE，E是CD的中点，
∴CG=GF，
∴BF=GF=CG，
∴DF=CF=2GF=2BF，
∴$\frac{BF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠B=90°，
∴△BDF是“潜力三角形”；
（3）解：分四种情况：
①当$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$时，
∵BF=1，
∴GF=CG=BF=1，BD=2，
∴AB=2BD=4，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5；
②当$\frac{DF}{BF}$=2时，DF=2BF=2，
∴BD=$\sqrt{D{F}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AB=2BD=2$\sqrt{3}$，
∵BC=3，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{21}$；
③当$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$时，BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2BD=1，
∵BC=3，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
④当$\frac{DF}{BD}$=$\frac{1}{2}$时，
设BD=x，则DF=2x，
由勾股定理得：（2x）²-x²=1²，
解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=2BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵BC=3，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{93}}{3}$；
综上所述：若△BDF是“潜力三角形”，且BF=1，线段AC的长为5或$\sqrt{21}$或$\sqrt{10}$或$\frac{\sqrt{93}}{3}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了“潜力三角形”的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质、分类讨论思想的应用等知识；本题综合性强，有一定难度．