Question

11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作等腰Rt△ABO，AC=5，OC²=72，过点O作OF⊥BC于F，AM⊥OM于M，OM=CF．
（1）求证：△AMO≌△OFB；
（2）求BC的长；
（3）求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的内角和等于360°求出∠MOF=90°，然后求出∠AOM=∠BOF，再利用“角角边”证明△AMO和△OFB全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OM=OF，AM=BF，从而得到△CFO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出CF，再求出△COM是等腰直角三角形，然后求AM的长，最后根据BC=CF+BF计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OB，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：（1）证明：∵OF⊥BC，AM⊥OM，
∴∠M=∠OFC=90°，
∴∠M=∠OFB=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MOF=360°-90°×3=90°，
∴∠AOM+∠AOF=90°，
在等腰Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，
∴∠BOF+∠AOF=90°，
∴∠AOM=∠BOF，
在△AMO和△OFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠OFB=90°}\\{∠AOM=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△OFB（AAS）；

（2）解：∵△AMO≌△OFB，
∴OM=OF，AM=BF，
∵OM=CF，
∴OF=CF，
又∵∠OFC=90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{72}$=6，
∵∠ACB=90°，∠FCO=45°，
∴∠ACO=90°-45°=45°，
又∵∠M=90°，
∴△COM是等腰直角三角形，
∴CM=OM=CF=6，
∵AC=5，
∴AM=AM-AC=A6-5=1，
∴BF=AM=1，
∴BC=CF+BF=6+1=7；

（3）解：在Rt△FBO中，由勾股定理得，OB=$\sqrt{O{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
△ABO的面积=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$OB•OB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{37}$×$\sqrt{37}$=$\frac{37}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．