Question

【题目】如图，已知ABED，延长AD到C使AD=DC，连接BC，CE，BC交DE于点F，若AB=BC．

（1）求证：四边形BECD是矩形；

（2）连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到AD=BE，由此推出四边形BECD是平行四边形，由AB=BC根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC，即可推出结论；

（2）根据AB=BC，∠BAC=60°，推出△ABC是等边三角形，得到AC=AB=4，利用四边形BECD是矩形，求出∠ADB=∠DCE=90°，利用三角函数求出CE=BD=，再利用勾股定理求出AE.

（1）∵四边形ABED是平行四边形，

∴AD=BE，AC∥BE，

∵AD=DC，

∴BE=DC，

∴四边形BECD是平行四边形，

∵AB=BC，

∴BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴四边形BECD是矩形；

（2）∵AB=BC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=4，

∵四边形BECD是矩形，

∴∠ADB=∠DCE=90°，

∴CE=BD=，

∴AE=.