Question

18．已知点A（-4，n）和点B（2，-4）是反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象和一次函数y=kx+b图象两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求方程kx+b=$\frac{m}{x}$的解（请直按写出答案）
（3）求不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集（请直接写出答案）．
（4）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）把B的坐标代入即可流程反比例函数的解析式，代入求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出答案；
（2）根据点A、B的坐标即可求出方程的解；
（3）根据图象和A、B的横坐标即可求出答案；
（4）先求出直线和x轴的交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：（1）把B（2，-4）的坐标代入y=$\frac{m}{x}$得：m=-8，
即反比例函数的解析式为：y=-$\frac{8}{x}$，
把A的坐标代入y=-$\frac{8}{x}$得：n=2，
所以A的坐标为（-4，2），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{2=-4k+b}\\{-4=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-2，
所以一次函数的解析式为：y=-x-2；

（2）方程kx+b=$\frac{m}{x}$的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$；

（3）不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集为x＜-4或0＜x＜2；

（4）y=-x-2和x轴的交点坐标为（-2，0），
所以△AOB的面积为：$\frac{1}{2}$×|-2|×2+$\frac{1}{2}×|-2|×|-4|$=6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分割图形求三角形面积；（3）根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．