Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4cm，动点P从A向B运动，同时动点Q从B向C运动，其运动的速度均是1cm/s．设运动时间为t（s），请解答下列问题：
（1）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；
（2）若点R是AC的中点，连接PR、QR，试判断动点P、Q在运动过程中，△PQR的面积是否发生变化？若不变化，求出△PQR面积的大小；若变化，求出其变化过程中的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）由于△BPQ为直角三角形，先用含t的代数式分别表示BQ与BP，再根据S=

1

2

BP•BQ即可求解；
（2）根据S_△BPQ=S_△ABC-S_△BPQ-S_△APR-S_△CQR求出△PQR面积关于t的二次函数关系式，再配方得到△PQR面积变化过程中的最大值与最小值．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BP=AB-AP=4-t，BQ=t，
∴S_△BPQ=

1

2

×BP×BQ=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t（0≤t≤4）；

（2）△PQR的面积在变化：
S_△BQR=S_△ABC-S_△BPQ-S_△APR-S_△CQR
=

1

2

×4×4-（-

1

2

t²+2t）-

1

2

t×2

2

×

2

2

-

1

2

（4-t）×2

2

×

2

2

=8+

1

2

t²-2t-t-4+t
=

1

2

t²-2t+4
=

1

2

（t-2）²+2，
∵

1

2

＞0且0≤t≤4，
∴当t=2时，△PQR面积的最小值是2；
当t=0或4时，△PQR面积的最大值是4．

点评：本题是二次函数综合题，涉及了三角形面积的计算，配方法的应用，极值问题，其中（2）的关键是得到关于t的二次函数关系式．