Question

1．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD=AB=4，BD=CD，∠C=30°，E为BC边上一点，以BE为直角边，E为直角顶点作等腰Rt△BEF，使等腰Rt△BEF和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当等腰Rt△BEF的顶点F恰好落在线段AD上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的等腰Rt△BEF沿BC向右以1个单位每秒平移，记平移中的Rt△BEF为△B′EF，当点E与点C重合时停止平移．设平移的时间为t，等腰Rt△B′EF的边EF与线段BD交于点M，将△B′FM沿BD折叠，F点的对应点为F′，是否存在这样的t，使△F′EM是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）平移过程中，设等腰直角三角形与△BCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作辅助线构建直角三角形，可得∠ADB=30°，设BE=x，依次把EF、DG、BD、DC表示出来，利用30°角直角三角形所对的直角边是斜边的一半得AH的长，利用勾股定理求DH，从而求出BD的长，列式计算即可；
（2）不存在，如图2，可求得∠EMF′=60°，是一个定值，因此如果△EMF′中任意两边相等时，它都为等边三角形，列式求得t为负数，不符合题意，所以不存在；
（3）分两种情况：①当0≤t＜6-2$\sqrt{3}$时，重叠部分的面积为四边形面积，利用差来求；②当6-2$\sqrt{3}$≤t≤12-2$\sqrt{3}$时，如图4，重叠部分的图形为四边形MB′EN，利用两三角形的面积差求．

解答 解：（1）如图1，设BE=x，
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴EF=BE=x，
过D作DG⊥BC于G，过A作AH⊥BD于H，则DG=x，DC=BC=2x，
∵DC=BC，
∴∠DBC=∠C=30°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
在Rt△AHD中，AD=4，则AH=2，DH=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2DH=4$\sqrt{3}$，
则2x=4$\sqrt{3}$，x=2$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$；
（2）不存在，如图2，理由是：
∵∠ADB=30°，
∴∠FMD=60°，
∵F与F′关于BD对称，
∴∠DMF′=∠FMD=60°，
∴∠EMF′=60°，
则△EMF′中任意两边相等时，它都为等边三角形；
设BM=x，则FM=F′M=2$\sqrt{3}$-x，
∴x=2$\sqrt{3}$-x，x=$\sqrt{3}$，
在Rt△BEM中，∠DBC=30°，
∴BE=3，
∴t=3-2$\sqrt{3}$＜0，不符合题意；
∴不存在这样的t，使△F′EM是等腰三角形；
（3）①当0≤t＜6-2$\sqrt{3}$时，如图3，过M作MN⊥BC于N，
设MN=x，则B′N=MN=x，
tan30°=$\frac{MN}{BN}$=$\frac{x}{x+t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
x=$\frac{（\sqrt{3}+1）t}{2}$，即MN=$\frac{（\sqrt{3}+1）t}{2}$，
tan30°=$\frac{EG}{BE}$=$\frac{EG}{2\sqrt{3}+t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EG=2+$\frac{\sqrt{3}t}{3}$，
∴S=S_△BGE-S_△BB′M=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+t）（2+$\frac{\sqrt{3}t}{3}$）-$\frac{1}{2}$t•$\frac{（\sqrt{3}+1）t}{2}$，
S=$\frac{（-3-\sqrt{3}）{t}^{2}}{12}$+2t+2$\sqrt{3}$；
②当6-2$\sqrt{3}$≤t≤12-2$\sqrt{3}$时，如图4，重叠部分的图形为四边形MB′EN，
设GN=x，则FG=$\sqrt{3}x$，EC=12-t-2$\sqrt{3}$，
cos30°=$\frac{EN}{EC}$，
∴EN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（12-t-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}t}{3}$-2，
∴EF=FN+EN，
2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x+x+4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}t}{3}$-2，
x=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$t-4，
则S=S_△B′EF-S_△MNF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$2\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}+1）$x$•\sqrt{3}$x=6-$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{3}$）（$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$t-4）²．

点评 本题是四边形的综合题，计算量较大；考查了梯形、等腰直角三角形的性质，考查了30°的直角三角形的特殊性质，这一性质应用较多，要熟练掌握；对于重叠部分的面积要根据图形特点分类讨论并利用面积公式代入求解．