已知.点P是Rt△ABC斜边AB上一动点.分别过A.B向直线CP作垂线.垂足分别为E.F.Q为斜边AB的中点．(1)如图1.当点P与点Q重合时.AE与BF的位置关系是 .QE与QF的数量关系是 ,(2)如图2.当点P在线段AB上不与点Q重合时.试判断QE与QF的数量关系.并给予证明,(3)如图3.当点P在线段BA的延长线上时.此时(2)中的结论是否成立?请画出图形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是

，QE与QF的数量关系是

；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．

解答：解：（1）如图1，

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中

∠AQE=∠BQF

∠AEQ=∠BFQ

AQ=BQ

∴△AEQ≌△BFQ，
∴AE=BF，
故答案为：AE∥BF，AE=BF；

（2）

QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∠AQE=∠BQD

∠AEQ=∠BDQ

AQ=BQ

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，

（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∠AQE=∠BQD

∠AEQ=∠BDQ

AQ=BQ

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．

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．
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①θ=