Question

8．如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF=CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF²=EF•BF；②AG=2DC；③AE=EF；④AF•EC=EF•EB．其中正确的结论有①②④．

Answer 1

分析 根据等边对等角的性质求出∠DCF=∠DFC，然后求出DF=DB，根据等边对等角求出∠DBF=∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根据直角三角形的性质求出△BCF和△CEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到①正确；根据互余关系求出∠G=∠ACG，再根据等角对等边的性质求出AG=AC，然后求出AG=BC，然后利用“角角边”证明△BCE和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BC，从而判断②正确；根据角的互余关系可以求出∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，从而得到AE≠EF，判断出③错误；根据根据直角三角形的性质求出△CEF和△BCE相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出EC²=EF•EB，再根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，从而判断出④正确．

解答 解：∵DF=CD，
∴∠DCF=∠DFC，
∵AC=BC，点D是BC的中点，
∴DF=DB=DC，
∴∠DBF=∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF=180°，
∴∠BFC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽Rt△CEF，
∴$\frac{CF}{EF}$=$\frac{BF}{CF}$，
∴CF²=EF•BF，故①正确；
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG=90°，
又∵∠ACG+∠DCF=90°，∠DCF=∠DFC=∠AFG，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵AC=BC，
∴AG=BC，
又∵∠CBE=∠ACG，
∴∠CBE=∠G，
在△BCE和△AGF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠BCE=90°}\\{∠CBE=∠G}\\{AG=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△AGF（AAS），
∴AG=BC，
∵点D是BC的中点，
∴BC=2DC，
∴AG=2DC，故②正确；
根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC=90°，∠AFE+∠DFC=90°，
∵tan∠ADC=2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF=∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③错误；
∵∠ACB=90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴$\frac{EC}{EB}$=$\frac{EF}{EC}$，
∴EC²=EF•EB，
∵△BCE≌△AGF（已证），
∴AF=EC，
∴AF•EC=EF•EB，故④正确；
所以，正确的结论有①②④．
故答案为①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出AG=AC，然后证明△BCE和△AGF全等是证明的关键，也是本题的难点．