Question

【题目】如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E.

（1）试确定当CP=3时，点E的位置；

（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）点E与点B重合；（2）当点P在BF上：；当点P在CF上：

【解析】

（1）当CP=3时，易知四边形ADPB是矩形，由DP⊥BC，PE⊥DP，得出点E与点B重合；

（2）作DF⊥BC，F为垂足．欲求y关于自变量x的函数关系式，分为两种情况点P在BF上，点P在CF上，通过证明△PEB∽△DPF分别得出．

解：（1）连接DP

∵CP=3

∴BP=BC—CP=12—3=9

∵AD=9

∴AD=DP

∵AD∥DP，∠ABC=90°，

∴∠A=90°，

∴四边形ABPD是矩形

∴ DP⊥BP

∵PE⊥DP

∴点E与点B重合

（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，

∴AD=BF=9 ，AB=DF=6

当点P在BF上：

∵∠BPE +∠EPD+∠DPF=180°，PE⊥PD，

∴∠BPE +∠DPF=90°，

∵DF⊥BC，

∴∠PDF+∠DPF=90°，

∴∠PDF =∠EPB，

∴△PEB∽△DPF，

∴ ，

∵CP=x，BE=y ，

∴BP=12—x PF=PC—CF=x—3，

∴，

∴，

当点P在CF上，同理可求得：．