Question

9．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是6≤MN≤4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （方法一）当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，BN（或CM）最长，求出此时BN（或CM）的长度，由此即可得出MN的取值范围．
（方法二）连接PM交AB于点E，连接PN交AC于点F，过点M作MD⊥PN于点D，设BP=x（0≤x≤4），则PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CP=4-x，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），根据等边三角形的性质结合轴对称的性质即可得出PM、PN的长度，由角的计算可得出∠MPD=60°，进而可得出MD、PD的长度，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可得出MN²=MD²+ND²=3（x-2）²+36，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．
（方法三）连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=AP=AN、△MAN为顶角为120°的等腰三角形，进而即可得出MN=$\sqrt{3}$AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．

解答 解：（解法一）如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．
此时E、F分别为AB、AC的中点，
∴PE=$\frac{1}{2}$AC，PF=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．
此时G（H）为AB（AC）的中点，
∴CG=2$\sqrt{3}$（BH=2$\sqrt{3}$），
CM=4$\sqrt{3}$（BN=4$\sqrt{3}$）．
故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4$\sqrt{3}$．
故答案为：6≤MN≤4$\sqrt{3}$．
（解法二）连接PM交AB于点E，连接PN交AC于点F，过点M作MD⊥PN于点D，如图3所示．
设BP=x（0≤x≤4），则PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CP=4-x，PF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
∴PM=$\sqrt{3}$x，PN=$\sqrt{3}$（4-x）．
∵∠B=∠C=60°，
∴∠BPE=∠CPF=30°，
∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°，
∴DP=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PM=$\frac{3}{2}$x．
在Rt△MDN中，MD=$\frac{3}{2}$x，ND=PN+PD=$\sqrt{3}$（4-x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-x），
∴MN²=MD²+ND²=3（x-2）²+36，
∴当x=2时，MN取最小值6；当x=0或x=4时，MN取最大值4$\sqrt{3}$．
故答案为：6≤MN≤4$\sqrt{3}$．
（解法三）连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，
∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，
∴△MAN为顶角为120°的等腰三角形，
∴∠AMD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AM，MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM，MN=$\sqrt{3}$AM．
∵AM=AP，2$\sqrt{3}$≤AP≤4，
∴6≤MN≤4$\sqrt{3}$．
故答案为：6≤MN≤4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．