【题目】在数学课上，老师提出如下问题：
已知：∠α，直线l和l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．
小刚的做法如下：
①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；
②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；
③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；
④分别以E，F为圆心，大于
长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；
⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
连接PQ
在△OMN和△AQP中，
∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ
∴△OMN ≌△AQP（__________）（填写推理依据）
∴∠PAQ=∠O=α
∵CE=CF，BE=BF
∴CB⊥EF（____________________________）（填写推理依据）
【答案】（1）见解析；（2）边边边或SSS，三线合一
【解析】
（1）根据题目给出的步骤进行尺规作图即可得出答案，其中步骤①②是尺规作一个角等于已知角，步骤③④是尺规作图作垂线，可得出直角；
（2）根据题目条件，可知在△OMN和△AQP中，对应边相等，则是利用了SSS证明三角形全等，然后再利用圆规作图可知△CEF是等腰三角形，根据等腰三角形底边三线合一即可证出CB⊥EF．
（1）作图：如图
（2）（边边边或SSS）；（三线合一）
解：根据步骤①用圆规画图，圆的半径相等，可知ON=AP， OM=AQ，根据步骤②可知PQ=NM，即直接利用SSS证明△OMN ≌△AQP全等，即第一个括号答案可写“边边边或SSS”；
根据步骤③用圆规画图，圆的半径相等，可知BE=BF，根据步骤④可知CE=CF，即可得出△CEF是等腰三角形，且底边上B是EF的中点，则可根据等腰三角形底边上三线合一即可证出CB⊥EF ，则第二个括号答案可写“三线合一”．
开心练习课课练与单元检测系列答案
开心试卷期末冲刺100分系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，函数
的图象
经过点
，直线
与
轴交于点
．
（1）求
的值及点的坐标；
（2）直线
与函数的图象交于点
，记图象在点
，之间的部分与线段
，
，
围成的区域（不含边界）为
．
①当
时，直接写出区域内的整点个数；
②若区域内恰有2个整点，结合函数图象，求
的取值范围．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=
cm，且tan∠EFC=
，那么该矩形的周长为________．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，抛物线
与
轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线
与抛物线交于
两点，其中点
的横坐标为2．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的表达式；
（2）P是线段AC上一动点（P与A，C不重合），过点P作
轴的平行线交抛物线于点E，求
面积的最大值；
（3）点H是抛物线上一动点，在轴上是否存在点F，使得
四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在请直接写出所有满足条件的点F坐标；如果不存在，请说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，
是以O为圆心，AB长为直径的半圆弧，点C是AB上一定点．点P是上一动点，连接PA，PC，过点P作PD⊥AB于D．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为x cm，P、C两点间的距离为y1 cm，P、D两点间的距离为y2 cm．
小刚根据学习函数的经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究．下面是小刚的探究过程，请将它补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到y1和y2与x的几组对应值：
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y1/cm | 4.00 | 3.96 | m | 3.61 | 3.27 | 2.77 | 2.00 |
y2/cm | 0.00 | 0.99 | 1.89 | 2.60 | 2.98 | 2.77 | 0.00 |
经测量，m的值是 ；（保留一位小数）
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，点(x，y2)，并画出函数y1， y2的图象；
（3）结合函数图象，回答问题：△APC为等腰三角形时，AP的长度约为 cm．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图是某区1500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．
（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；
（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；
（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，在
中，
，
，
，以
为直径的半圆
按如图所示位置摆放，点
与点
重合，点
在边
的中点处，点从现在的位置出发沿
方向以每秒2个单位长度的速度运动，点随之沿下滑，并带动半圆在平面内滑动，设运动时间为
秒（
），点运动到点
处停止，点
为半圆中点．
（1）如图2，当点与点重合时，连接
交边
于
，则
为____________；
（2）如图3，当半圆的圆心落在了的斜边的中线时，求此时的，并求出此时
的面积；
（3）在整个运动的过程中，当半圆与边有两个公共点时，求出的取值范围；
（4）请直接写出在整个运动过程中点的运动路径长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.
(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD；(结果保留根号)
(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里.(结果精确到1海里，参考数据
≈1.7)
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