Question

（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6

3

，AF=4

3

，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．

解答：（1）证明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，

∠AFD=∠C ∠ADF=∠DEC

∴△ADF∽△DEC．

（2）解：∵?ABCD，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，∴DE=

AD•CD

AF

=

6 3 ×8

4 3

=12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

DE2-AD2

=

122-(6 3 )2

=6．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．