Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝2，以边AB为直径的⊙O经过点D，且∠DAB＝45°．
 
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若以C为圆心的⊙C与⊙O 相切，求⊙C的半径．

Answer 1

（1）直线CD与⊙O相切；（2）－1或＋1

试题分析：（1）连接OD，根据平行四边形的性质可得AB//CD，即得∠DAB＋∠ADC＝180°，从而可以求得∠ADC的度数，再根据圆的基本性质求解即可；
（2）作CE⊥OB，交OB的延长线于点E，连接OC，根据平行四边形的性质可得AD//BC，即得∠CBE＝∠DAB＝45°，则可得BE＝CE＝1，在Rt△OCE中，根据勾股定理可求得OC的长，即可求得结果.
（1）直线CD与⊙O相切．
连接OD
     
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠DAB＋∠ADC＝180°．
∵∠DAB＝45°，
∴∠ADC＝135°．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAO＝45°．
∴∠ODC＝∠ADC－∠ODA＝90°
∴OD⊥CD，
∵OD为⊙O半径，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）作CE⊥OB，交OB的延长线于点E，连接OC
 
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠CBE＝∠DAB＝45°．
∴BE＝CE＝1．
在Rt△OCE中，OC＝＝
∵⊙C与⊙O 相切，
∴⊙C的半径为－1或＋1．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.