【题目】探究:如图1和图2,四边形中,已知,,点、分别在、上,.
(1)①如图1,若、都是直角,把绕点逆时针旋转90°至,使与重合,直接写出线段、和之间的数量关系____________________;
②如图2,若、都不是直角,但满足,线段、和之间①中的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(2)拓展:如图3,在中,,,点、均在边上,且,若,求的长.
【答案】(1)①EF=BE+DF;②成立,理由见解析;(2).
【解析】
(1)①根据旋转的性质得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案;
②根据旋转的性质把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,推出C、D、G在一条直线上,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可得出结果;
(2)把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF.根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根据旋转的性质得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD=∠DAE=45°,证△FAD≌△EAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3-x,根据勾股定理得出方程,求出x即可.
解:(1)①如图1中,
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,
∵∠ADC=90°,∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共线.
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF,
故答案为:EF=BE+DF;
②成立,理由如下:
如图2,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,
则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,
∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°,
∴C、D、G在一条直线上,
与①同理得,∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=BE+DF;
(2)∵△ABC中,,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,.
如图3,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF.
则AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,
∵∠DAE=45°,
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
在△FAD和△EAD中,
,
∴△FAD≌△EAD(SAS),
∴DF=DE,
设DE=x,则DF=x,
∵BC=4,
∴BF=CE=4-1-x=3-x,
∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,
∴∠FBD=90°,
由勾股定理得:DF2=BF2+BD2,
x2=(3-x)2+12,解得:,
即DE=.
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【题目】某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1:.
(1)求新坡面的坡角∠CAB的度数;
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.
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【题目】题目:某校七年级学生乘车去参加社会实践活动,若每辆客车乘50人,还有12人不能上车;若每辆客车乘55人,则最后一辆空了8个座位,求该校租这种客车的辆数:
根据题意,小明、小红分别列出了尚不完整的方程如下:
小明列出不完整的方程为
小红列出不完整的方程为
(说明:其中“”表示运算符号,“”表示数字):
(1)小明所列方程中表示的意义是________________________;
小红所列方程中表示的意义是___________________________;
(2)选择两位同学的其中一位学生的做法,将其补充完整,并完整地解答这道题.
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【题目】如图,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标A(﹣1,3),与x轴的一个交点B(﹣4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a﹣b=0;②abc<0;③抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根;⑤当﹣4<x<﹣1时,则y2<y1.
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
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【题目】某社区踊跃为“抗击肺炎”捐款,根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表,但工作人员不小心把墨水滴在统计表上,部分数据看不清楚.
(1)共有多少人捐款?
(2)如果捐款0~50元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°,那么捐款51~100元的有多少人?
捐款 | 人数 |
0~50元 | |
51~100元 | |
101~150元 | |
151~200元 | 6 |
200元以上 | 4 |
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【题目】王老师为了解同学们对金庸武侠小说的阅读情况,随机对初三年级的部分同学进行调查,将调查结果分成以下五类:A:看过0~3本,B:看过4~6本,C:看过7~9本,D:看过10~12本,E:看过13~15本.并根据调查结果绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图.
(1)图2中的a = ,D所对的圆心角度数为 °;
(2)请补全条形统计图;
(3)本次调查中E类有2男1女,王老师想从中抽取2名同学分别撰写一篇读书笔记.请用列表或画树状图的方法求所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,BC>AB>AC,D是边BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),将△ABC沿AD折叠,点B落在点B'处,连接BB',B'C,若△BCB'是等腰三角形,则符合条件的点D的个数是
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
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【题目】如图,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O.若BO=6,PO=2,则AP的长,AO的长分别为__________.
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