Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒$\sqrt{3}$cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得出AB=10，$BC=5\sqrt{3}$．由题意知：BM=2t，$CN=\sqrt{3}t$，$BN=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，由BM=BN得出方程$2t=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，解方程即可；
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=10，$BC=5\sqrt{3}$．     
由题意知：BM=2t，$CN=\sqrt{3}t$，
∴$BN=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
∵BM=BN，
∴$2t=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
解得：$t=\frac{{5\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}=10\sqrt{3}-15$．
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，
则$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{10}=\frac{{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}}{{5\sqrt{3}}}$，
解得：$t=\frac{5}{2}$．
②当△NBM∽△ABC时，
则$\frac{NB}{AB}=\frac{BM}{BC}$，即$\frac{{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}}{10}=\frac{2t}{{5\sqrt{3}}}$，
解得：$t=\frac{15}{7}$．
综上所述：当$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{15}{7}$时，△MBN与△ABC相似．
（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴$\frac{MD}{AC}=\frac{BM}{AB}$，
即$\frac{MD}{5}=\frac{2t}{10}$，
解得：MD=t．
设四边形ACNM的面积为y，
∴y=$\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}-\frac{1}{2}（5\sqrt{3}-\sqrt{3}t）•t$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{t^2}-\frac{{5\sqrt{3}}}{2}t+\frac{{25\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{（t-\frac{5}{2}）^2}+\frac{75}{8}\sqrt{3}$．
∴根据二次函数的性质可知，当$t=\frac{5}{2}$时，y的值最小．
此时，${y_{最小}}=\frac{75}{8}\sqrt{3}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．