Question

【题目】如图，在三角形中，，，以为直径作交于点，交于点，直线于点，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

(1)连接OD和CD，根据圆周角定理求出∠BDC=90°，根据等腰三角形的性质求出AD=BD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可；
(2)根据余角的性质得到∠ADF=∠ODC，等量代换得到∠ADF=∠OCD，根据勾股定理得到CD=12，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）证明：如图，连接OD，CD，

∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是90°），

即CD⊥AB，
∵AC=BC，AB=10，
∴AD=BD=5，
∵O为BC中点，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∴∠FDO=180°-90°=90°（两直线平行，同旁内角互补），
∴OD⊥EF，
又∵OD过圆心O点，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）∵∠ADC=∠BDC=90°，∠ODF=90°，
∴∠ADF=∠ODC，
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADF=∠OCD（等量替换），
∵BD=5，BC=13，
∴CD== 12（勾股定理），

；