Question

20、设m=1²+2²+3²+…+2003²．今天是星期一，若算第一天，则第m天是星期几？

Answer 1

分析：首先得出S₁=1²+2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²=20×7是7的倍数，以及S₂=2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²+8²=S₁+7×9，得出S_n+1=S_n+7N，
由2003=286×7+1，把m写成m=1²+（2 ²+3²+4 ²+…+2003²），从而得出答案．

解答：解：令S₁=1²+2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²=140=20×7，
∴S₁是7的倍数．
S₂=2 ²+3²+4 ²+5²+6²+7²+8²，
=S₁+8²-1²，
=S₁+（8-1）（8+1），
=S₁+7×9．
∴S₂也是7的倍数．
∴以此类推S_n+1=S_n+7N（N为某个自然数）．
∴任何连续7个自然数之平方和都是7的倍数，
由2003=286×7+1，
把m写成m=1²+（2 ²+3²+4 ²+…+2003²），
所以，括号内是286组连续7个自然数的平方和，因而是7的倍数，
故m被7除余1，由此知第m天为星期一．

点评：此题主要考查了带余数除法运算的性质，得出S_n+1=S_n+7N是解决问题的关键．