Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点E是弧BC的中点，DE与BC交于点F，∠CEA=∠ODB．
（1）请判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=12，BF=3

3

时，求图中阴影部分的面积．（结果保留2个有效数字，

3

≈1.73，π≈3.14）

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）要证直线BD和⊙O相切，通过∠BOD=∠BAC，因为∠BAC+∠ABC=90°，所以证明OB⊥BD即可；
（2）S_阴影=S_△OBD-S_扇形OBE．

解答：（1）解法一：直线BD与⊙O相切．
证明如下：
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB．
∵点E是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°，
∴直线BD与⊙O相切；
解法二：直线BD与⊙O相切．
证明如下：如图，连接AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵点E是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°=∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠CAB=∠DOB．
∵∠CEA=∠ODB=∠ABC，
∴∠CAB+∠CBA=∠DOB+∠ODB=90°，
∴∠DBO=90°，
∴直线BD与⊙O相切；

（2）解：∵点E是弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°．
∵BO=

1

2

AB=6，
∴sin∠DOB=

BF

BO

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠DOB=60°．
∵∠OBD=90°，
∴tan60°=

BD

OB

=

BD

6

=

3

，
∴BD=6

3

，
∴S=

6×6 3

2

-

60π×62

360

=18

3

-6π≈18×1.73-6×3.14≈12．

点评：本题考查了扇形的面积计算，切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．