Question

3．菱形ABCD中，AC=mAB，点M是射线CA上一点，点P是射线DA上一点，∠PMB=∠ABC．
（1）如图①，若m=1，请猜想AP，AB，AM的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图②，若m≠1，请猜想AP、AB、AM的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）在AB上截取AN=AM，连接MN，由四边形ABCD是菱形，得到AB=BC，推出△是等边三角形，得到∠BAC=60°，△AMN是等边三角形，通过△APM≌△NBM，得到BN=PA，于是得到结论；
（2）在AP上截取AK=AB，连接KB，证得四边形AKBC是平行四边形得到∠AKB=∠ABK，∠ABK=∠BAC，延长点A，M，P，B四点共圆，得到∠KPB=∠AMB，证得△PKB△AMB，得到$\frac{PK}{AM}=\frac{BK}{AB}=\frac{AC}{AB}=m$，求得PK=mAM，即可得到结论．

解答 解：（1）AB=AM+AP；
理由：在AB上截取AN=AM，连接MN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴△是等边三角形，
∴∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形，
∴AM=MN，∠AMN=60°，
∵∠PMB=60°，
∴∠AMP=∠NMB，
在△APM与△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAM=∠BNM=120°}\\{AM=MN}\\{∠AMP=∠NMB}\end{array}\right.$，
∴△APM≌△NBM，
∴BN=PA，
∵AB=AN+BN，
∴AB=AM+AP；

（2）AP-AB=mAM，
理由：在AP上截取AK=AB，连接KB，
∴AK=BC，AK∥BC，
∴四边形AKBC是平行四边形，
∵∠AKB=∠ABK，∠ABK=∠BAC，
∴∠AKB=∠BAC，
∴∠PKB=∠MAB，
∵∠PMB=∠ABC，
∴∠PMB=∠PAB，
∵∠MOP=∠AOB，
∴∠MPA=∠MBA，
∴点A，M，P，B四点共圆，
∴∠KPB=∠AMB，
∴△PKB∽△AMB，
∴$\frac{PK}{AM}=\frac{BK}{AB}=\frac{AC}{AB}=m$，
∴PK=mAM，
∴AP-AK=AP-AB=mAM．

点评 本题考查了菱形的性质相似三角形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．