Question

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM=MN=ND．其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由菱形的性质得出△ABC、△ADC是等边三角形，得出AE=OB，AF=OD，得出AE=AF，再证明EF是△BCD的中位线，得出EF=$\frac{1}{2}$BD=OB，得出AE=AF=EF，得出（1）正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出OE=$\frac{1}{2}$BC=CE，OF=$\frac{1}{2}$CD=CF，得出OE=OF=CE=CF，得出（2）正确；由菱形的性质得出OF∥BC，再由AE⊥BC，得出（3）正确；证明AM=BM，同理：AN=ND，再证出AM=AN，得出（4）正确；即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，OA=OD=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∴△ABC、△ADC是等边三角形，
∴OB是等边三角形ABC的高，
∵点E是BC的中点，
∴AE时等边三角形ABC的高，
∴AE=OB，
同理：AF=OD，
∴AE=AF，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=OB，EF∥BD，
∴AE=AF=EF，
即△AEF是等边三角形，
∴（1）正确；
∵点E，F分别是BC，CD的中点，AC⊥BD，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=CE，OF=$\frac{1}{2}$CD=CF，
∴OE=OF=CE=CF，
∴四边形CEOF是菱形，
∴（2）正确；
∵四边形CEOF是菱形，
∴OF∥BC，
∵AE⊥BC，
∴OF⊥AE，
∴（3）正确；
∵AE、BO是等边三角形ABC的中线，
∴AM=BM，
同理：AN=ND，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°，
∵EF∥BD，
∴∠AMN=∠AEF=60°，∠ANM=∠AFE=60°，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
∴BM=MN=ND，
∴（4）正确；
正确的结论有4个，
故选：D．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度．