Question

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上一动点（不与A、D重合），将正方形ABCD折叠，使点B落在P处，C落在Q处，PQ交CD于点G，折痕为EF，连接BP、BG，则△PBG的面积的最小值为16$\sqrt{2}$-16．

Answer 1

分析 设AP=PM=x，PG=y，MG=CG=y-x，DG=4（y-x）=4+x-y，PD=4-x，在直角△PDG中利用勾股定理列方程，则y即可用x表示，根据不等式的性质求得PG的最小值，然后利用三角形的面积公式求解．

解答 解：过B作BM⊥PQ于M，连接CQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠A=∠BMP，∠APB=∠PBC，
∵将正方形ABCD折叠，使点B落在P处，
∴∠BPM=∠PBC，
∴∠APB=∠BPM，
在△ABP与△MPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠MPB}\\{∠A=∠PMB}\\{PB=PN}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△MPB，
设AP=PM=x，PG=y，
MG=CG=y-x，DG=4（y-x）=4+x-y，
PD=4-x，
∵PD²+DG²=PG²，
∴（4-x）²+（4+x-y）²=y²，
则y=$\frac{32+{x}^{2}}{2x+8}$=$\frac{{x}^{2}+16}{x+4}$，
设t=x+4，则x=t-4，
∴y=$\frac{（t-4）^{2}+16}{t}$=$\frac{{t}^{2}-8t+32}{t}$=t+$\frac{32}{t}$-8．
当t=4$\sqrt{2}$时，y最小，此时x=4$\sqrt{2}$-4．
∴y=$\frac{{x}^{2}+16}{x+4}$=$\frac{（4\sqrt{2}-4）^{2}+16}{4\sqrt{2}}$=8$\sqrt{2}$-8．
则S的最小值是$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-8）×4=16$\sqrt{2}$-16．
故答案是：16$\sqrt{2}$-16．

点评 本题考查了图形的折叠，以及勾股定理，利用不等式的性质求得y的最小值是解决本题的关键．