Question

如图1，已知直线y₁=kx+4与函数y2=

a

x

的图象相交于点A（1，3）、B（ m，1）两点．

（1）求a、k、m的值；
（2）求y₁＞y₂时x的取值范围（请直接写出答案）；
（3）求△AOB的面积；
（4）如图2，M（0，2）、N（2，0），在上述函数y2=

a

x

（x＞0）的图象上取一点P（点P的横坐标大于2），过点P作PQ⊥x轴，垂足是Q．若四边形MNQP的面积等于2，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点A（1，3），代入y₁、y₂可得出k、a的值，然后将点B（m，1）代入y₂可得出m的值．
（2）根据图象即可得出y₁＞y₂时x的取值范围．
（3）求出直线AB与x轴的交点E的坐标，然后求出S_△AOE、S_△BOE，根据S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE，可得出△AOB的面积．
（4）根据（1）中求得a的值，可设点P（x，

3

x

），连接OP，根据S_△MOP+S_△OPQ=S_△MON+S_{四边形MNQP}，可得出x的值，继而得出点P的坐标．

解答：解：（1）将点A（1，3）代入y₁=kx+4，可得k+4=3，
解得：k=-1；
将点A（1，3）代入，y₂=

a

x

，可得3=

a

1

，
解得：a=3，即可得y₂=

3

x

，
将点B（m，1）代入y₂=

3

x

，可得1=

3

m

，
解得：m=3；
综上可得：k=-1，a=3，m=3；

（2）结合函数图象可得：当x＜0或1＜x＜3时，y₁＞y₂．

（3）
由y₁=-x+4可得点E的坐标为（4，0），
则S_△AOE=

1

2

OE×A_纵=6，S_△BOE=

1

2

OE×B_纵=2，
故可得S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE=4；

（4）设点P的坐标为（x，

3

x

），
S_△MPO=

1

2

OM×P_横=x，S_△POQ=

1

2

|a|=

3

2

，S_△MON=

1

2

OM×ON=2，
则S_△MOP+S_△OPQ=S_△MON+S_{四边形MNQP}=S_{四边形MPQO}，
即x+

3

2

=2+2，
解得：x=

5

2

，则

3

x

=

6

5

，
故点P的坐标为：（

5

2

，

6

5

）．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、不规则图形面积的求法及反比例函数k的几何意义，综合性较强，解答本题要求我们熟悉各个知识点，能将所学的知识融会贯通，难度较大．