如图.平面直角坐标系中.点A坐标(2.0).点B是y轴上的一个动点.连接AB.取AB中点M.将线段AM绕着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN.连接ON.BN.ON与AB所在直线交于点P.设点B的坐标为(0.t)(1)当t＞0时.用t的代数式表示点N的坐标,(2)设△OBN的面积为S.求S关于t的函数关系式,(3)是否存在点B.使得△ABN与△ANP相似?若存在.求出符合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2，0），点B是y轴上的一个动点，连接AB，取AB中点M，将线段AM绕

着点A顺时针方向旋转90°得到线段AN，连接ON、BN，ON与AB所在直线交于点P，设点B的坐标为（0，t）
（1）当t＞0时，用t的代数式表示点N的坐标；
（2）设△OBN的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在点B，使得△ABN与△ANP相似？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）过N作NC⊥x轴于C，先根据两角对应相等，两三角形相似证出△ANC∽△BAO，再由相似三角形对应边成比例得出AB：AN=OA：CN=OB：AC，进而求出点N的坐标；
（2）由于点B是y轴上的一个动点，且t=-4时，N在y轴上，所以分三种情况进行讨论：①当t≥0时，②当-4≤t＜0时，③当t＜-4时，针对每一种情况，先用含t的代数式分别表示OB、OC，再根据S=

×OB×OC，即可求出S关于t的函数关系式；
（3）假设存在点B，使得△ABN与△ANP相似．如图1，当△ABN∽△ANP时，得出AB：AN=AN：AP，则AP=

AB．过点P作PD⊥OA于D，则PD∥OB，△APD∽△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出PD=

t，AD=

，由PD∥NC，△OPD∽△ONC，根据相似三角形对应边成比例得出PD：NC=OD：OC，从而得到关于t的方程，解方程即可求出t的值．

解答：解：（1）过N作NC⊥x轴于C，
∴∠NCA=∠AOB=90°，
∴∠NAC+∠ANC=90°，
由旋转的性质，可得：∠NAB=90°，AN=AM，
∴∠NAC+∠BAO=90°，
∴∠ANC=∠BAO，
∴△ANC∽△BAO，
∴AB：AN=OA：CN=OB：AC，
∵点A坐标（2，0），点B的坐标为（0，t），
∴OA=2，OB=t，
∵M是AB中点，
∴AM=AN=

AB，
∴2：CN=2：1=t：AC，
∴CN=1，AC=

，
∴OC=OA+AC=2+

，
∴N（2+

，1）；

（2）分三种情况：
①当t≥0时，如图1．
S=

OB•OC=

×t×（2+

）=

t²+t；
②当-4≤t＜0时，如图2．
由（1）可得：CN=1，AC=|

|=-

，
∴OC=OA-AC=2+

，
∴S=

×OB×OC=

（-t）（2+

）=-

t²-t；
③当t＜-4时，如图3．
由（1）可得：CN=1，AC=|

|=-

，
∴OC=AC-OA=-

-2，
∴S=

×OB×OC=

（-t）（-

-2）=

t²+t；

（3）存在点B（0，2），使得△ABN与△ANP相似．理由如下：
如图1，当△ABN∽△ANP时，AB：AN=AN：AP，
∵AN=AM=

AB，
∴AP=

AN=

AB．
过点P作PD⊥OA于D，则PD∥OB，
∴△APD∽△ABO，
∴PD：BO=AD：AO=AP：AB=1：4，
∴PD=

OB=

t，AD=

OA=

．
∵PD∥NC，
∴△OPD∽△ONC，
∴PD：NC=OD：OC，
∴

t：1=

：（2+

），
∴

t（2+

）=

，
整理，得t²+4t-12=0，
解得t₁=2，t₂=-6（不合题意舍去）．
当t=2时，点B的坐标为（0，2）．
故存在点B（0，2），使得△ABN与△ANP相似．

点评：本题考查了旋转的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是画出图形作出辅助线，运用分类讨论的思想解答问题，本题还体现了数形结合思想在解题中的重要作用．

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