Question

【题目】已知二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧)，与轴交于点，顶点为．

(Ⅰ)当时，求二次函数的最大值；

(Ⅱ)当时，点是轴上的点，，将点绕点顺时针旋转90°得到点，点恰好落在该二次函数的图象上，求的值；

(Ⅲ)是该二次函数图象上的一点，在(Ⅱ)的条件下，连接，，使，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)；(Ⅲ)点的坐标为或．

【解析】

（1）将b=6代入求出函数解析式，通过配方后求出二次函数的最值；

（2）将b=2代入代入求出函数解析式，过点作轴于点，证得，从而有EH=OP，从而求得，将E点的坐标代入函数解析式，解方程即可求出t的值；（3）点M的位置不确定，需要进行分类讨论，分两种情况，点M在x轴上方和在x轴下方.

解：(Ⅰ)当时，，∴二次函数的最大值为12；

(Ⅱ)当时，，

如图1，过点作轴于点，

，

．

∵将点绕点顺时针旋转90°得到点，

．

又，

．

．

．

当点恰好在该二次函数的图象上时，有，

解得(舍去)．

．

(Ⅲ)设点，

①若点在轴上方，

如图2，过点作轴于点，

过点作轴于点，

过点作轴于点．

，

令，则．

．

令，则，

解得．

．

．

．

由(Ⅱ)知，

．

．

，

．

．

，

．

．

．

在中，，

在中，．

．

解得(舍去)，．

．

②若点在轴下方，

如图3，过点作轴于点，

过点作轴于点．

与轴的交点记为，

有．

轴，

．

．

，

又，

．

在中，，

在中，．

．

解得(舍去)，．

．

综上所述：点的坐标为或．