Question

【题目】（2017·泰安）如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与轴的一个交点为，另一交点为，与轴交点为．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；

（3）点是抛物线上一点，点是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？若存在，分别求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）（1，4）；（3）P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）.

【解析】

（1）设抛物线的解析式是y=（x1）2+k．

把（1，0）代入得0=（11）2+k，解得k=4，

则抛物线的解析式是y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3.

（2）在y=x2+2x+3中令x=0，得y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．

∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，

∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

过点N作NH⊥y轴，垂足是H．

∵∠NCB=90°，

∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，

∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

设点N的坐标是（a，a2+2a+3），

∴a+3=a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，

∴点N的坐标是（1，4）.

（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，

设P（t，t2+2t+3），则t2+2t+3=（t+1）+，

整理，得2t2t=0，解得t=0或t=．

∴t2+2t+3的值为3或．

∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．