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操作探究:
我们知道一个三角形中有三条高线和三条中线.如图1,AD和AE分别是△ABC中BC边上的高线和中线,我们规定:kA=数学公式,另外,对kB、kC作类似的规定.
(1)如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则kA的值为______,kC的值为______;
(2)在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上(如图3),画一个△ABC,使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上,且kA=2,面积也为2;
(3)判断下面三个命题的真假(真命题打“√”,假命题的打“×”)
①若△ABC中,kA<1,则△ABC为锐角三角形______;
②若△ABC中,kA=1,则△ABC为直角三角形______;
③若△ABC中,kA>1,则△ABC为钝角三角形______.

解:(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°时,BC边上的高,垂足就是点C,设中线是AD,则kA==1;
CE⊥AB于E,CF是中线,则CF=AB=BF,
又∵∠B=90°-30°=60°,
∴△BCF是等边三角形;
∴EF=BE=BF=AF,
∴kC==

(2)作图如下:


(3)①(1)中kC=,而△ABC是直角三角形,故命题错误;
②kA=1时,过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定重合,故三角新一定是直角三角形,故命题正确;
③kA>1时,过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定在边的延长线上,则三角形一定是钝角三角形,故命题正确.
故答案是:×,√,√.
分析:(1)根据kA的定义即可直接求解;CE⊥AB于E,CF是中线,可以证明△BCF是等边三角形,根据三线合一定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可求解;
(2)kA=2,则一定是钝角三角形,作出一边长是2,这边上的高也是2的三角形;
(3)根据(1)即可确定①是错误的;
②③根据kA的值可以确定过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点的位置,即可确定三角形的形状.
点评:本题考查了三角形的作图,正确理解kA的意义,根据kA的值可以确定过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点的位置是关键.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

作业宝(1)阅读理解:
我们知道,只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角,但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成,勾尺的直角顶点为P,
“宽臂”的宽度=PQ=QR=RS,(这个条件很重要哦!)勾尺的一边MN满足M,N,Q三点共线(所以PQ⊥MN).
下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程:
第一步:画直线DE使DE∥BC,且这两条平行线的距离等于PQ;
第二步:移动勾尺到合适位置,使其顶点P落在DE上,使勾尺的MN边经过点B,同时让点R落在∠ABC的BA边上;
第三步:标记此时点Q和点P所在位置,作射线BQ和射线BP.
请完成第三步操作,图中∠ABC的三等分线是射线______、______.
(2)在(1)的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程:
∵______,BQ⊥PR,
∴BP=BR.(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)
∴∠______=∠______.
∵PQ⊥MN,PT⊥BC,PT=PQ,
∴∠______=∠______.
(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)
∴∠______=∠______=∠______.
(3)在(1)的条件下探究:数学公式是否成立?如果成立,请说明理由;如果不成立,请在图2中∠ABC的外部画出数学公式(无需写画法,保留画图痕迹即可).

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