Question

19．如图1，抛物线C₁：y=ax²-2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，B（1，0），第二象限内有一点P在抛物线C₁上运动，OP交线段AC于点E．
（1）求抛物线C₁的解析式及点A坐标；
（2）若PE：OE=2：3，求P点坐标；
（3）如图2，将抛物线C₁向右平移，使平移后的摊物线C₂的顶点D在y轴上，P是抛物线C₂在第二象限图象上的动点，作P关于y轴的对称点P′，连接PO并延长交抛物线C₂于点Q，连接QP′并延长交y轴于点N，求证：ND=OD．

Answer 1

分析 （1）把点B（1，0）代入y=ax²-2x+3，求出a即可，令y=0，把问题转化为一元二次方程即可求得点A坐标．
（2）如图1中，作EF⊥OA于F，PM⊥OA于M，设P（m，-m²-2m+3），则PM=-m²-2m+3，OM=-m，由EF∥PM，可得$\frac{EF}{PM}$=$\frac{OF}{OM}$=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{3}{5}$，推出OF=-$\frac{3}{5}$m，EF=$\frac{3}{5}$（-m²-2m+3），由OA=OC=3，推出∠EAF=∠AEF=45°，推出AF=EF，由此列出方程即可解决问题．
（3）如图2中，由题意抛物线C₂的解析式为y=-x²+4，D（0，4）．设P（m，-m²+4），则P′（-m，-m²+4）．首先求出直线PO是解析式，利用方程组求出点Q的坐标，再求出直线QP′的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）把点B（1，0）代入y=ax²-2x+3得a=-1，
∴抛物线C₁的解析式为y=-x²-2x+3，
令y=0，得-x²-2x+3=0，解得x=-3或1，
∴A（-3，0）．

（2）如图1中，作EF⊥OA于F，PM⊥OA于M，设P（m，-m²-2m+3），则PM=-m²-2m+3，OM=-m，

∵EF∥PM，
∴$\frac{EF}{PM}$=$\frac{OF}{OM}$=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{3}{5}$，
∴OF=-$\frac{3}{5}$m，EF=$\frac{3}{5}$（-m²-2m+3），
∵OA=OC=3，
∴∠EAF=∠AEF=45°，
∴AF=EF，
∴$\frac{3}{5}$m+3=$\frac{3}{5}$（-m²-2m+3），
解得m=-1或-2，
∴P（-1，4）或（-2，3）．

（3）如图2中，由题意抛物线C₂的解析式为y=-x²+4，D（0，4）．
设P（m，-m²+4），则P′（-m，-m²+4）．

设直线PQ的解析式为y=kx，则-m²+4=km，
∴k=$\frac{4-{m}^{2}}{m}$，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{4-{m}^{2}}{m}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4}\\{y=\frac{4-{m}^{2}}{m}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=-{m}^{2}+4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{m}}\\{y=\frac{4（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴Q[-$\frac{4}{m}$，$\frac{4（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}$]，
设直线QP′的解析式为y=k′x+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-mk′+b=-{m}^{2}+4}\\{-\frac{4}{m}k′+b=\frac{4（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4+{m}^{2}}{m}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线QP′的解析式为y=$\frac{4+{m}^{2}}{m}$x+8，
∴N（0，8），∵D（0，4），
∴OD=4，ON=8，
∴DN=ON-OD=4，
∴DN=OD．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会利用参数解决问题，本题的突破点是求出点Q的坐标，再求出直线QP′的解析式，属于中考压轴题．