Question

【题目】老师布置了这样一道作业题：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．

小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造ΔABD的轴对称图形ΔABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

图1 图2

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；

（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题.

Answer 1

【答案】（1）30°（2）30°或150°

【解析】

（1）如图2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等边三角形，再证明△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B=∠AD′C，由此即可解决问题．
（2）第①种情况：当60°＜α≤120°时，如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1）．

（1）如图1作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°

∵∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，

∵AB=AB，∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，

∴△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，

∵BD=BD′，BD=BC，

∴BD′=BC，

∴△D′BC是等边三角形，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，

∵AB=AC，AD'=AD'，

∴△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∴∠AD′B=∠BD′C=30°，

∴∠ADB=30°.

（2）解：第①种情况：当60°＜α≤120°时，

如图2，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=α，

∴∠ABC=，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=，

同（1）可证△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B

∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC==180°-（α+β），

∵α+β=120°，

∴∠D′BC=60°，

以下同（1）可求得∠ADB=30°，

第②种情况：当0°＜α＜60°时，

如图3，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=，

∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β(90°)，

同（1）可证△ABD≌△ABD′，

∴∠ABD=∠ABD′=β(90°)，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，

∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-[β(90°)]＝180°(α+β)，

∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．

同（1）可证△AD′B≌△AD′C，

∴∠AD′B=∠AD′C，

∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，

∴∠ADB=∠AD′B=150°