Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O经过AC的中点D,然后过点D作DE⊥BC，垂足为点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若⊙O的直径为10，,求线段BE的长度.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

（1）连接OD，先求出OD∥BC，在证明DE⊥OD，即可解答

（2）连接线段BD,得到∠A=∠C，设BD=3x,CD=4x，根据勾股定理求出BD=6,CD=8，再证明Rt△BCD∽Rt△BDE，即可解答

解：（1）连接OD，

∵AB是⊙O的直径

∴AO=BO

又∵ AD=DC

∴ OD是△ABC的中位线

从而OD∥BC.

∴∠ODE=∠DEC

∵DE⊥BC

∴∠ODE=∠DEC=90°

∴DE⊥OD

又∵OD为半径

∴DE是⊙O的切线

（2）由(1)知AD=CD

连接线段BD

∵AB是⊙O的直径，AB=10

∴∠ADB=∠BDC=90°

∴线段BD⊥AC

∴AB=BC=10

∴∠A=∠C

在Rt△BCD中

设BD=3x,CD=4x

∴

∴BD=6,CD=8

在Rt△BCD与Rt△BDE中

∵∠C+∠CDE=90°

　∠BDE+∠CDE=90°

∴∠C=∠BDE

又∵∠BDC=∠BED=90°

∴Rt△BCD∽Rt△BDE..

∴

∴