Question

【题目】如图（1），抛物线 y=﹣ x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）直接写出阴影部分的面积 S阴影；
（3）如图（2），直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点（点M不与点A，O重合 ），∠PMN为直角，MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：t为何值时，△MAN为等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：平移后的抛物线解析式为y=﹣ x（x﹣8），

即y=﹣ x2+ x

（2）

解：如图1，连接OB、OD，

y=﹣ （x﹣4）2+3，则B（4，3）

平移后的抛物线的对称轴为直线x=4，

当x=4时，y=﹣ x2=﹣3，则D（4，﹣3），

∴点B与点D关于x轴对称，

∴阴影部分的面积 S阴影=S△OBD= ×3×（4+4）=12

（3）

解：设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（8，0），B（4，3）代入得 ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+6，

作NQ⊥x轴于Q，如图2，P（0，6），AP=10，

∵∠PMN为直角，

∴∠PMO+∠QMN=90°，

而∠PMO+∠MOP=90°，

∴∠QMN=∠MOP，

∴△MPO∽△NMQ，

∴ = ，

当NM=NA时，MQ=AQ= （8﹣t），

∴OQ=8﹣ （8﹣t）= t+4，

当x= t+4时，y=﹣ （ t+4）+6=﹣ t+3；

∴ = ，解得t1=8（舍去），t2= ；

当AM=AN时，AN=AM=8﹣t，

∵NQ∥OP，

∴△ANQ∽△APO，

∴ = = ，即 = = ，

∴NQ= （8﹣t），AQ= （8﹣t），

∴MQ=8﹣t﹣ （8﹣t）= ，

∴ = ，解得t1=8（舍去），t2=18（舍去；

当MA=MN时，

∵∠OAP＜45°，

∴∠MNA=∠NAM＜45°，

∴∠AMN＞90°，显然不成立，

综上所述，当t为 时，△MAN为等腰三角形

【解析】（1）利用交点式写出平移后的抛物线解析式；（2）如图1，连接OB、OD，先通过配方法可得到B（4，3），再确定D（4，﹣3），利用对称性可得到阴影部分的面积 S阴影=S△OBD ， 然后根据三角形面积公式求解；（3）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣ x+6，作NQ⊥x轴于Q，如图2，易得P（0，6），AP=10，再证明△MPO∽△NMQ得到 = ，然后讨论：当NM=NA时，MQ=AQ= （8﹣t），则OQ= t+4，接着利用一次函数图象上点的坐标表示出NQ=﹣ t+3，则利用相似比得到 = ，解方程求出满足条件的t的值；当AM=AN时，AN=AM=8﹣t，证明△ANQ∽△APO，利用相似比可得到NQ= （8﹣t），AQ= （8﹣t），则MQ=8﹣t﹣ （8﹣t）= ，然后利用相似比得到 = ，解方程确定满足条件的t的值；当MA=MN时，由于∠OAP＜45°，则∠MNA=∠NAM＜45°，原式可判断∠AMN＞90°，显然不成立，所以当t为 时，△MAN为等腰三角形．