Question

18．已知直角△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D为AB边上一动点，沿EF折叠，点C与点D重合，设BD的长度为m．
（1）如图①，若折痕EF的两个端点E、F在直角边上，则m的范围为2≤m≤4；
（2）如图②，若m等于2.5，求折痕EF的长度；
（3）如图③，若m等于$\frac{20}{13}$，求折痕EF的长度．

Answer 1

分析 （1）首先在Rt△ABC中，求出AB的长度是多少；然后分两种情况：①当点E和点A重合时；②当点F和点B重合时；分别求出m的最小值和最大值，即可判断出m的取值范围．
（2）首先根据BD=2.5，AB=5，判断出AD=BD=CD=2.5，再根据点C与点D关于对称，判断出CE=DE，CF=DF；然后根据三角形相似的判定方法，分别判断出△ACD∽△CDE，△BCD∽△CDF，即可求出CE、CF的值各是多少；最后在Rt△CEF中，根据勾股定理，求出EF的长度是多少即可．
（3）首先作DG⊥BC，垂足为G，作EH⊥BC，垂足为H，连接DF，根据三角形相似的判定方法，判断出△BGD∽△BCA，求出DG、BG、CG的长度各是多少；然后根据三角形相似的判定方法，判断出△EHF∽△CGD、△EHB∽△ACB，求出FH、EH的长度各是多少；最后在Rt△HEF中，根据勾股定理，求出EF的长度是多少即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
∵沿EF折叠，点C与点D重合，
∴EF垂直平分CD，
①当点E和点A重合时，m的值最小，
此时AD=AC=3，
∴m=AB-AD=5-3=2；
②当点F和点B重合时，m的值最大，
此时BD=BC=4，
∴m=4，
综上，可得若折痕EF的两个端点E、F在直角边上，则m的范围为：2≤m≤4；

（2）∵BD=2.5，AB=5，
∴AD=BD=CD=2.5，
∵点C与点D关于对称，
∴CE=DE，CF=DF，
∴∠CAD=∠ECD=∠EDC，
在△ACD和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ECD}\\{∠DCA=∠EDC}\end{array}\right.$，
∴△ACD∽△CDE，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AD}{CE}$，
即$\frac{3}{2.5}$=$\frac{2.5}{CE}$，
∴CE=$\frac{25}{12}$，
∵CF=DF，
∴∠DBC=∠FCD=∠FDC，
在△BCD和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠FCD}\\{∠DCB=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△BCD∽△CDF，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{BD}{CF}$，
即$\frac{4}{2.5}=\frac{2.5}{CF}$，
∴CF=$\frac{25}{16}$，
∴EF=$\sqrt{{CE}^{2}{+CF}^{2}}=\sqrt{{（\frac{25}{12}）}^{2}{+（\frac{25}{16}）}^{2}}$=$\frac{125}{48}$．

（3）如图③，作DG⊥BC，垂足为G，作EH⊥BC，垂足为H，连接DF，
，
∵AC⊥BC，DG⊥BC，
∴AC∥DG，
∴△BGD∽△BCA，
∴$\frac{DG}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BG}{CB}$，
∴$\frac{DG}{3}=\frac{\frac{20}{13}}{5}=\frac{BG}{4}$，
∴DG=$\frac{12}{13}$，BG=$\frac{16}{13}$，
∴CG=BC-BG=4-$\frac{16}{13}$=$\frac{36}{13}$；
在Rt△FDG中，FG²+DG²=DF²，
∴（$\frac{36}{13}$-DF）²+（$\frac{12}{13}$）²=DF²，
解得DF=$\frac{20}{13}$，
∴CF=DF=$\frac{20}{13}$，
∵∠HEF+∠HFE=90°，∠GCD+∠HFE=90°，
∴∠HEF=∠GCD，
又∵∠EHF=∠CGD=90°，
在△EHF和△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HEF=∠GCD}\\{∠EHF=∠CGD}\end{array}\right.$，
∴△EHF∽△CGD，
∴$\frac{EH}{CG}$=$\frac{HF}{DG}$，
∴$\frac{EH}{HF}$=$\frac{CG}{DG}$=$\frac{\frac{36}{13}}{\frac{12}{13}}=3$，
设FH=x，则EH=3x，
∵EH⊥BC，AC⊥BC，
∴EH∥AC，
∴△EHB∽△ACB，
∴$\frac{EH}{AC}$=$\frac{HB}{BC}$，
∴$\frac{3x}{3}$=$\frac{x+4-\frac{20}{13}}{4}$，
解得x=$\frac{32}{39}$，
∴EF=$\sqrt{{FH}^{2}{+EH}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{32}{39}）}^{2}{+（\frac{32}{13}）}^{2}}$=$\frac{32}{39}$$\sqrt{10}$．
故答案为：2≤m≤4．

点评 （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．