Question

【题目】在等边中，线段为边上的中线．动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结BE．

（1）若点在线段上时（如图），则 （填“＞”、“＜”或“=”），　 　度；

（2）设直线BE与直线的交点为O.

①当动点在线段的延长线上时（如图），试判断与的数量关系，并说明理由；

②当动点在直线上时，试判断是否为定值？若是，请直接写出的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，理由见解析；②

【解析】

（1）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以得到∠ACD=∠BCE，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，进而得到；可根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以得到∠ACD=∠BCE，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC，进而得到；

②分情况讨论，当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；当点D在线段AM的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案；当点D在线段MA的延长线上时，证明△ACD≌△BCE（SAS），得出∠CBE=∠CAD，同理得出∠CAM=30°，求出∠CBE=∠CAD=150°，得出∠CBO=30°，即可得出答案．

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵线段AM为BC边上的中线，

∴∠CAM=∠BAC，

∴∠CAM=30°，

故答案为：=，30°；

（2）①，理由如下：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

，

即，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

②∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由如下：

当点D在线段AM上时，由①得：∠AOB=60°；

当点D在线段AM的延长线上时，如图2所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠CAD=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBE=90°-30°=60°；

当点D在线段MA的延长线上时，如图3所示：

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

同理可得：∠CAM=30°，

∴∠CBE=∠CAD=150°，

∴∠CBO=30°，

∴∠AOB=90°-∠CBO=90°-30°=60°；

综上所述，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°．