Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）试求二次函数的解析式；
（2）求y的最大值；
（3）写出当y＞0时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），分别把横坐标和纵坐标代入二次函数解析式，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，进而确定出二次函数的解析式；
（2）由第一问求出的函数解析式，找出二次项系数a，根据a小于0，得到抛物线的开口向下，y有最大值，最大值即为顶点的纵坐标，利用顶点坐标公式即可求出y的最大值；
（3）令二次函数解析式中的y=0得到关于x的方程，求出方程的解即为二次函数与x轴交点的横坐标，根据图象可得出y大于0时x的范围．

解答：解：（1）∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3），
∴x=-1，y=0代入y=-x²+bx+c得：-1-b+c=0①，
把x=0，y=3代入y=-x²+bx+c得：c=3，
把c=3代入①，解得b=2，
则二次函数解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵二次函数y=-x²+2x+3的二次项系数a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
则当x=-

b

2a

=-

2

-2

=1时，y有最大值，最大值为

4ac-b2

4a

=4；

（3）令二次函数解析式中的y=0得：-x²+2x+3=0，
可化为：（x-3）（x+1）=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
由函数图象可知：当-1＜x＜3时，y＞0．

点评：此题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，以及二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想，其中待定系数法确定函数解析式一般步骤为：设出函数解析式，把图象上点的坐标代入所设的解析式，得到方程组，求出方程组的解可得出系数的值，从而确定出函数解析式．