Question

已知抛物线y=x²+bx-a²．
（1）请你选定a、b适当的值，然后写出这条抛物线与坐标轴的三个交点，并画出过三个交点的圆；
（2）试讨论此抛物线与坐标轴交点分别是1个，2个，3个时，a、b的取值范围，并且求出交点坐标．

Answer 1

分析：（1）要注意选择符合条件的a，b的值，首先要注意确定△＞0，-a²≠0，选择合适的值即可，作图时要注意三角形的外接圆圆心是各边的垂直平分线的交点；
（2）若有一个交点即是与x轴无交点或与x轴的一个交点为原点，
若有两个交点即是与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，且不重合；或者与x轴有两个交点且过原点，
若有三个交点即是与两坐标轴都有交点且不重合．

解答：解：（1）∵这条抛物线与坐标轴的三个交点，
∴这条抛物线与x轴的两个交点，
∴△=b²+4a²＞0且a²≠0，
∴设b=2，a=

6

，
∴y=x²+2x-6，
∴这条抛物线与坐标轴的三个交点为（2，0），（-4，0），（0，-6）．
如图：

（2）①当这条抛物线与坐标轴的有一个交点，
∴这条抛物线与坐标轴的交点是原点（0，0），
则a=0，b=0．
②当这条抛物线与坐标轴的有两个交点时，
抛物线过原点，则此时a=0，b≠0，
∴y=x²+bx，
交点坐标为（0，0），（-b，0）．
③当这条抛物线与坐标轴的有三个交点时，
这条抛物线与x轴交于两点，且不过原点，
∴△=b²+4a²＞0，
∴a≠0，b为任意实数，
交点坐标为（

-b± 4a2+b2

2

，0），（0，-a²）．

点评：此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题的判断，解题的关键是对函数图象的认识，还要注意三角形外接圆的画法；要注意数形结合思想的应用．