Question

如图所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E．
（1）求证：△DEC∽△AEB；
（2）当∠AED=60°时，求△DEC与△AEB的面积比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理的推论发现两个三角形中的两个角相等，从而证明三角形相似；
（2）根据（1）中的结论，两个三角形的面积比即是DE和AE的比的平方．根据30°的直角三角形的性质即可证明．
解答：（1）证明：∵∠CDE=∠EAB，∠DCE=∠EBA，
∴△DEC∽△AEB．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90度．
∵∠AED=60°，
∴∠DAE=30度．
∴AE=2DE．
∴S_△DEC：S_△AEB=DE²：AE²=1：4．
点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质．