Question

【题目】已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．
①当△ABC的面积为1时，求a的值．
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，

△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，

∵a≠0，

∴a2＞0，

∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点

（2）

解：①y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，

解得x1=m，x2=m+1，

∴AB=（m+1）﹣m=1，

y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣ ）2﹣ ，

△ABC的面积= ×1×|﹣ |=1，

解得a=±8；

②x=0时，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，

所以，点D的坐标为（0，am2+am），

△ABD的面积= ×1×|am2+am|，

∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，

∴ ×1×|am2+am|= ×1×|﹣ |，

整理得，m2+m﹣ =0或m2+m+ =0，

解得m= 或m=﹣

【解析】（1）把（x﹣m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．