Question

18．已知，如图（1），PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC²=PA×PB，
（1）求证：?∠PCA=∠PBC；?直线PC是⊙O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；
（3）如图（3），若⊙O的半径为$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{10}$，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）?根据已知条件得到$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PC}$，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角形的性质得到∠PCA=∠PBC，作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P过直径的一端点C，于是得到结论；
?（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，根据勾股定理得到BE=2$\sqrt{10}$，于是得到结论；
（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，得到OG=$\frac{1}{2}$OM=1，根据相似三角形的性质得到$\frac{QG}{QM}=\frac{OQ}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得QG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM，根据两点之间线段最短，即可得到结论．

解答 （1）?证明：∵PC²=PA×PB，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{PB}{PC}$，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC经过直径的一端点C，
∴直线PC是⊙O的切线；

?（2）解：作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE²=CE²+BC²=2²+6²=40，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴R=$\sqrt{10}$；

（3）解：取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，
连接QO、QM，
∵MO=2，
∴OG=$\frac{1}{2}$OM=1，
∵⊙O的半径r=OQ=$\sqrt{2}$，
∴OQ²=OG•OM，
∵∠MOQ=∠QOG，
∴△MOQ∽△QOG，
∴$\frac{QG}{QM}=\frac{OQ}{OM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴QG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM，
∴PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM=PQ+QG=PG，
根据两点之间线段最短，
此时PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM=PQ+QG=PG最小，
∴PQ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$QM最小值为PG=$\sqrt{P{O}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}+1}$=$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．