如图，已知抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5
（1）试确定m的值；
（2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
（3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

解：（1）因为抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点（x₁＜x₂）且（x₁+1）（x₂+1）=5，
∴m≠0
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂+1=5，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=3x-2，
当y=0时， $\text{[math]}$ ，
∴B点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）；

（3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =-3a²+a，
当 $\text{[math]}$ 时，△PQR不存在；
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =3a²-a．
分析：（1）用m表示出二次函数两个根的和、积，代入等式（x₁+1）（x₂+1）=5，并结合△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，解出即可；
（2）由抛物线的解析式得出顶点坐标，又∵A（-1，-5），用待定系数法可求出直线的解析式，令y=0，即可求出x，得点B的坐标；
（3）点P（a，b），根据题意得，Q点坐标为（2a，0），由直线的解析式得，点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N，则RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，分类讨论解答出即可．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、解析式和三角形的面积求法等；在求有关动点问题时要注意分析题意、分情况讨论结果．

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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

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（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
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（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
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（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

-2＜x＜0

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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