Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=12cm，将△ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB边延长线上的点D处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是36πcm²．（结果保留π）．

Answer 1

分析 根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=$\frac{1}{2}$AB，然后求出阴影部分的面积=S_扇形ABE-S_扇形BCD，列计算即可得解

解答 解：∵∠C是直角，∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6cm，
∵△ABC以点B为中心顺时针旋转得到△BDE，
∴S_△BDE=S_△ABC，∠ABE=∠CBD=180°-60°=120°，
∴阴影部分的面积=S_扇形ABE+S_△BDE-S_扇形BCD-S_△ABC
=S_扇形ABE-S_扇形BCD
=$\frac{120π×1{2}^{2}}{360}$-$\frac{120π×{6}^{2}}{360}$
=48π-12π
=36πcm²．
故答案为：36π．

点评 本题考查了旋转的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．