Question

3．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，∠ABD与∠C互补．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB=5，AC=9，则AE=7．

Answer 1

分析 （1）首先证明直角△BED≌直角△CFD，根据全等三角形的对应边相等证明DE=DF，即可证得AD是∠BAC的平分线；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=AE，BE=CF，根据AE=AC-CF=AB+BE，得到BE=2，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的角平分线；
（2）解：在△ADE与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DAF}\\{∠AED=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴AF=AE，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴BE=CF，
∴AE=AC-CF=AB+BE，
∴BE=2，
∴AE=AB+BE=7，
故答案为：7．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及角的平分线的判定定理，正确证明DE=DF是关键．