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【题目】若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形,则原四边形必定是(
A.正方形
B.对角线相等的四边形
C.菱形
D.对角线相互垂直的四边形

【答案】D
【解析】证明:∵四边形EFGH是矩形, ∴∠FEH=90°,
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点,
∴EF是三角形ABD的中位线,
∴EF∥BD,
∴∠FEH=∠OMH=90°,
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点,
∴EH是三角形ACD的中位线,
∴EH∥AC,
∴∠OMH=∠COB=90°,
即AC⊥BD.
故选D.

这个四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是互相垂直.理由为:根据题意画出相应的图形,如图所示,由四边形EFGH为矩形,根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°,又EF为三角形ABD的中位线,根据中位线定理得到EF与DB平行,根据两直线平行,同旁内角互补得到∠EMO=90°,同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行,再根据两直线平行,同旁内角互补得到∠AOD=90°,根据垂直定义得到AC与BD垂直.

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