Question

如图，直线AD交坐标轴于B和C，交双曲线于A和D，OB=OC=2，AB=BC=CD．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）请你连接AO和DO，并求出△AOD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）作AE⊥x轴于E点，DF⊥y轴于F点，由OB=OC=2，△OBC为等腰直角三角形，易得△ABE是等腰直角三角形，而AB=BC，得到等腰直角三角形OBC和等腰直角三角形EBA全等，则BE=AE=OB=2，可得到A点坐标为（-4，2），同理可得D点坐标为（2，-4），而B点坐标为（-2，0），C点坐标为（0，-2），然后利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）利用S_△OAD=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD计算即可．

解答：解：（1）作AE⊥x轴于E点，DF⊥y轴于F点，
∵OB=OC=2，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠OBC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=BC，
∴等腰直角三角形OBC和等腰直角三角形EBA全等，
∴BE=AE=OB=2，
∴A点坐标为（-4，2），
同理可得D点坐标为（2，-4），
设双曲线的解析式为y=

k

x

（k≠0），
把A（-4，2）代入y=

k

x

（k≠0）得k=-4×2=-8，
∴双曲线的解析式为y=-

8

x

；
设直线BC的解析式为y=ax+b（a≠0），
把B（-2，0）、C（0，-2）代入得

-2a+b=0 b=-2

，解得

a=-1 b=-2

，
∴直线的解析式为y=-x-2；
（2）连OA、OD，如图，
S_△OAD=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD
=

1

2

×2×2+

1

2

×2×2+

1

2

×2×2
=6．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式；通常利用待定系数法求函数的解析式．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．