Question

【题目】如图，F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．

（1）求证：△MFG为等腰三角形．

（2）若AB∥MD，求MF、FG、EG之间的数量关系，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）FG2＝EGMF，理由详见解析；（3） ．

【解析】

（1）连接OF，由切线的性质结合等角的余角相等可得出∠MFG＝∠AGH，进而得出∠MFG＝∠MGF，可证出△MFG为等腰三角形；

（2）由MD∥AB可得出∠M＝∠B，连接EF，则∠EFG＝∠B，进而可得出∠M＝∠EFG，结合∠MGF＝∠FGE可得出△MGF∽△FGE，利用相似三角形的性质可得出FG2＝EGMG，结合MF＝MG可得出FG2＝EGMF；

（3）由∠M＝∠B，tan∠M＝,设AH＝3k，则HB＝4k，AB＝5k，连接FO，OB，由∠MHD＝∠OFD＝90°，∠D＝∠D可得出∠FOD＝∠M，结合FD＝6，可得出FO＝8＝OB＝OA，进而可得出OH＝8﹣3k，在Rt△OHB中，利用勾股定理可求出k值，由MD∥AB可得出∠MFG＝∠BAF，进而可得出∠BGA＝∠BAG，由等角对等腰可得出AB＝GB＝5k，结合BH＝4k可得出GH＝k，结合AH＝3k利用勾股定理可求出AG＝k，再代入k值即可求出结论．

（1）证明：连接OF，如图1所示．

∵DF为⊙O的切线，

∴OF⊥DM，

∴∠MFG+∠AFO＝90°．

∵BH⊥AD，

∴∠AHG＝90°，

∴∠AGH+∠GAH＝90°．

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠MFG＝∠AGH．

又∵∠MGF＝∠AGH，

∴∠MFG＝∠MGF，

∴△MFG为等腰三角形．

（2）解：FG2＝EGMF，理由如下：

∵MD∥AB，

∴∠M＝∠B．

连接EF，如图2所示．

∵∠EFG＝∠B，

∴∠M＝∠EFG．

又∵∠MGF＝∠FGE，

∴△MGF∽△FGE，

∴,即FG2＝EGMG，

∴FG2＝EGMF．

（3）解：∵∠M＝∠B，tan∠M＝，

∴设AH＝3k，则HB＝4k，AB＝5k．

连接FO，OB，如图3所示．

∵∠MHD＝∠OFD＝90°，∠D＝∠D，

∴∠FOD＝∠M．

∵FD＝6，

∴FO＝8＝OB＝OA，

∴OH＝8﹣3k．

在Rt△OHB中，OH2+HB2＝OB2，即（4k）2+（8﹣3k）2＝82，

解得：k＝．

∵MD∥AB，

∴∠MFG＝∠BAF，

∴∠BGA＝∠BAG，

∴AB＝GB＝5k，

∴GH＝k，

∴AG＝k，（勾股定理）

∴AG＝．