Question

如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小．

Answer 1

分析：（1）作辅助线，连接OC，根据切线的性质知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的长，可将PC的长求出；
（2）通过角之间的转化，可知：∠CMP=

1

2

（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不发生变化．

解答：解：（1）连接OC，
∵AB=4，∴OC=2
∵PC为⊙O的切线，∠CPO=30°
∴PC=

OC

tan30°

=

2

3 3

=2

3

；

（2）∠CMP的大小没有变化．
理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=

1

2

∠COP（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∠MPA=

1

2

∠CPO（角平分线的性质），
∴∠CMP=∠A+∠MPA=

1

2

∠COP+

1

2

∠CPO=

1

2

（∠COP+∠CPO）=

1

2

×90°=45°．

点评：本题主要考查切线的性质及对直角三角形性质的运用．