Question

19．在平面直角坐标系中，点P（2，0），Q（2，4），在y轴有一点M，若PM+QM最小，则M的坐标为（0，2）．

Answer 1

分析 作出点P关于y轴的对称点N，连接NQ交y轴于点M．由轴对称的性质可知MP+QM=MN+MQ=，由两点之间线段最短可知：当M、Q、N在一条直线上时，MP+MQ有最小值，利用勾股定理求得答案即可．

解答 解：如图所示：作出点P关于y轴的对称点N，连接NQ交y轴于点M．．

由轴对称的性质可知：MP=MN，
∴MP+MQ=MN+MQ，
由两点之间线段最短可知：当M、Q、N在一条直线上时，MP+MQ有最小值．
设直线QN所在直线的解析式为y=kx+b，
将点Q（2，4）、N（-2，0）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=2．
∴直线QN的解析式为y=x+2．
将x=0代入得y=2，
∴点M的坐标为（0，2）
故答案为：（0，2）．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短问题、待定系数法求函数的解析式、一次函数与y轴的交点，明确M、Q、N在一条直线上时，MP+MQ有最小值是解题的关键．