Question

9．如图所示，抛物线y=x²-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，
（1）求cos∠CAO的值；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=x²-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，可以求得A、B、C三点的坐标，从而可以求得OA、OC、AC的长，进而可以得到cos∠CAO的值；
（2）根据点A、C两点的坐标，可以求得直线AC的函数关系式；
（3）根据第三问的条件，可知符合要求的三角形OPA存在三种情况，然后分别画出相应的图形，即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，
∴x²-4x+3=0，得x=1或x=3，x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∴$AC=\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
∴cos∠CAO=$\frac{OA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得k=-3，b=3．
即直线AC的解析式为：y=-3x+3；
（3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，
则有如下三种情况，
第一种情况如下图1所示，

当∠OPA=∠OCA，∠AOC=∠AOP时，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OC}{OP}=\frac{OA}{OA}$，
∵点C的坐标为（0，3），
∴OP=OC=3，
∴点P的坐标为（0，-3）；
第二种情况如下图2所示，点P位于y轴正半轴，

当∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP时，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，OC=3，
∴$OP=\frac{1}{3}$，
即点P的坐标为（0，$\frac{1}{3}$）；
第三种情况如下图3所示，点P位于y轴负半轴，

当∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP时，△OPA∽△OAC，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），
∴OA=1，OC=3，
∴$OP=\frac{1}{3}$，
即点P的坐标为（0，-$\frac{1}{3}$）．
由上可得，点P的坐标为：（0，-3），（0，$\frac{1}{3}$），（0，-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、锐角三角函数值、直线的解析式、三角形的相似，解题的关键是明确题意，可以求出相应的锐角三角函数，根据两点求出相应的函数解析式，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答问题．