Question

（2012•金山区二模）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB=6，cos∠B=

3

5

，求EC的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质得出AD=BC，根据圆的半径相等可得出AB=AE，结合等腰三角形的性质和平行线的性质可得出∠B=∠EAD，从而利用SAS可证得结论．
（2）在RT△ABC中，可求出BC，过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，则BH=HE，则结合cos∠B的值，可求出BH、EH的长度，继而根据EC=BC-BE即可得出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AB=AE（AB与AE为圆的半径），
∴∠AEB=∠B，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，

AE=AB ∠B=∠EAD BC=AD

，
故可得△ABC≌△EAD．

（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，cos∠B=

AB

BC

，
又∵cos∠B=

3

5

，AB=6，
∴BC=10，
过圆心A作AH⊥BC，垂足为H，
则BH=HE，
在Rt△ABH中，cos∠B=

BH

AB

，
则可得

3

5

=

BH

6

，
解得：BH=

18

5

，
∴BE=

36

5

，
故可得EC=BC-BE=

14

5

．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．