Question

（2011•兰州一模）如图，已知：一次函数：y=-x+4的图象与反比例函数：y=

3

x

（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M₁、M₂，设矩形MM₁OM₂的面积为S₁；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N₁、N₂，设矩形NN₁ON₂的面积为S₂；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S₁关于x的函数表达式，并求出S₁的最大值及相应的x的值；
（2）填空：
①当S₁=S₂时，x=

1或3

；
②当S₁＞S₂时，x的取值范围是

1＜x＜3

；
③当S₁＜S₂时的取值范围是

0＜x＜1或3＜x＜4

．

Answer 1

分析：（1）根据点M的坐标，利用矩形的面积公式列式整理即可得解；
（2）根据反比例函数系数的意义可以求出S₂=3，然后利用二次函数图象的增减性进行解答即可．

解答：解：（1）根据题意，S₁=xy=x（-x+4），
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4，
∴S₁关于x的函数表达式为：S₁=-（x-2）²+4，
当x=2时，S₁的最大值，最大值为4；

（2）根据二次函数的增减性，当x＜2时，S₁的值随x的增大而增大，
当x＞2时，S₁的值随x的增大而减小，
∴①当S₁=S₂时，-x²+4x=3，
x²-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0，x=3，
解得x₁=1，x₂=3，
②当S₁＞S₂时，1＜x＜3；
③直线y=-x+4与x轴的交点坐标为（4，0），
∴当S₁＜S₂时，0＜x＜1或3＜x＜4．
故答案为：（1）S₁=-（x-2）²+4；（2）①1或3，②1＜x＜3，③0＜x＜1或3＜x＜4．

点评：本题综合考查了反比例函数的图象性质，反比例函数比例系数k的几何意义，二次函数的最值问题，以及矩形的性质，综合性较强，对同学们的能力要求较高．