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2.如图,在△ABC,D,E分别是AB,AC上的点,△ADE∽△ACB,相似比为AD:AC=2:3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F,求AG与GF的比.

分析 根据相似三角形的性质得出∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC,因为AF是∠BAC的平分线,所以∠BAF=∠CAF,然后根据三角形外角的性质求得∠AGD=∠AFC,即可判定△AGD∽△AFC,根据相似三角形的性质求得$\frac{AG}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$,即可求得AG:GF=2:1.

解答 解:∵△ADE∽△ACB,
∴∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC,
∵AF是∠BAC的平分线,
∴∠BAF=∠CAF,
∵∠AGD=∠CAF+∠AED,∠AFC=∠BAF+∠ABC,
∴∠AGD=∠AFC,
∴△AGD∽△AFC,
∴$\frac{AG}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{2}{3}$,
∴AG:GF=2:1.

点评 本题考查了三角形相似的判定和性质,熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

12.已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x<6}\\{a+x≥1}\end{array}\right.$的整数解有5个,求a的取值范围.

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13.基本模型:如图1,点A,F,B在同一直线上,若∠A=∠B=∠EFC=90°,易得△AFE∽△BCF.
(1)模型拓展:如图2,点A,F,B在同一直线上,若∠A=∠B=∠EFC,求证:△AFE∽△BCF;
(2)拓展应用:如图3,AB是半圆⊙O的直径,弦长AC=BC=4$\sqrt{2}$,E,F分别是AC,AB上的一点,若∠CFE=45°.若设AE=y,BF=x,求出y与x的函数关系及y的最大值.

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10.如图,已知点P在抛物线y=$\frac{1}{8}$x2上,点F(0,2)在y轴上,直线l:y=-2与y轴交于点H,PM⊥l于M
(1)如图1,若点P的横坐标为6,则PF=$\frac{13}{2}$,PM=$\frac{13}{2}$;
(2)当∠FPM=60°时,求P点的坐标;
(3)如图2,若点T为抛物线上任意一点(原点O除外),直线TO交l于点G,过点G作GN⊥l,交抛物线于点N,求证:直线TN一定经过点F(0,2).

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17.如图,OC是∠AOB平分线,点P为OC上一点,若∠PDO+∠PEO=180°,试判断PD和PE大小关系,并说明理由.

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7.阅读材料:如图①,线段AB,CD相交于点O,则称△AOC和△BDO为“对顶三角形”,根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质:∠A+∠C=∠B+∠D.
(1)如图②,线段AB,CD相交于点O,∠CAO与∠BDO的平分线AP和DP相交于点P,AP交CD于点M,DP交AB于点N,则图中共有6对“对顶三角形”.
(2)如图③,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
(3)如图②,若∠B=96°,∠C=98°,求∠P的度数.

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14.如图,已知直线l1经过点A(2,0)与点B(0,1),如果在第二象限内有一点P(a,$\frac{1}{2}$),且△APB的面积为3,求a的值.

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11.如图,已知∠AOC与∠AOB的和是180°,OM,ON分别是∠AOC,∠AOB的平分线,且∠MON=40°,试求∠AOC和∠AOB度数.

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2.写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程.
命题:如果一个三角形的两条边相等,那么两条边所对的角也相等(简称:“等边对等角”.)
已知:在△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.
证明:

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