Question

已知抛物线交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴于C点，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线y=x²-mx-2m交x轴于A（a，0）和B（b，0），
所以a+b=3m，a•b=-4m，
∵抛物线开口向上，与X轴有两个交点，
∴C点在Y轴下半轴上，所以点C（0，-2m），-2m＜0，所以m＞0，
AO+OB=|a-b|，OC=|-2m|=2m，
所以（AO+OB）²=（a-b）²=（a+b）-4ab=9m²+16m，
12OC+1=24m+1，
∴9m²+16m=24m+1，
9m²-8m-1=0，
m=1或m=-＜0，舍去，
∴m=1，
即抛物线的解析式为：y=x²-x-2；

（2）易知：A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，-2），
连接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
设C关于抛物线对称轴的对称点为C′，
那么C′坐标为（3，-2），
根据抛物线的对称性可知：如果连接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，
因此如果以AB为直径作圆，那么此圆必过C，C′，
根据圆周角定理可知：x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形，
如果设P点横坐标为x，那么必有当0＜x＜3时，∠APB为锐角，
当-1＜x＜0或3＜x＜4时，∠APB为钝角．
分析：（1）可根据（AO+OB）²=12CO+1以及一元二次方程根与系数的关系来求出m的值，进而可确定出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是找出∠APB为直角时，P点的位置，根据（1）的抛物线不难得出A，B，C三点的坐标为（-1，0）（4，0）
（0，-2）．如果∠APB为直角，那么点P必为以AB为直径的圆与抛物线的交点．据此可判断出∠APB时，P点横坐标的范围．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定等知识点．要注意的是（2）中结合圆周角的相关知识来理解问题可使问题简化．